Matematik ve İstatistik Bilimlerindeki Gelişmeler 

Prof. Dr. Zekai Şen 

Antik devirden başlamak üzere uygula­nan eğitim sistemlerinde önce üçlü daha son­ra da Hellenistik ve Roma devirlerinden buna ilave olarak dörtlü denilen temel eğitim konu­ları arasında matematik her zaman var olmuş­tur. Başlangıçta geometri ve hesaplama şeklin­de öngörülmesine karşılık matematik uygula­maları günümüze kadar çeşitlenip gelişerek önceleri tamamen belirlilik kuralları üzerine kurulmasına karşılık son iki—üç yüzyıl içinde bilimdeki belirsizliklerin sistematik olarak iş­lenmesine yararlı olan belirsizlik kuralları orta­ya çıkmıştır. Belirlilik kuralları içinde matema­tik alanında cebirsel yöntemler müslüman bi­lim adamı olan Khawarizmi tarafından hediye edilmiştir. Tüm çağlarda bilim gündemden düşmemiş ve onun gelişmesi için bir temel teş­kil etmiş olan matematiğe ince mantıksal zera-fetinden dolayı bilimlerin kraliçesi adı veril­miştir. Bugün matematik sayılar büyüklükler ve bazı formlar üzerinde kurulmuştur. Eskiden matematik sadece sayı ve büyüklüklerin bilimi olarak bilinirdi. İnsanoğlunun yeryüzünde gö­rüldüğü ilk zamanlardan beri matematik varlığını göstermiştir. İlk zamanlarda matematik duyu organlarımızla algılayabildiğimiz sayı ve büyüklükle ilgili bilgilerin izah edilmesinde kullanılan bir yöntem bilim olarak son zaman­larda ise özellikle de on dokuzuncu yüzyılda doğa olaylarının ölçülmesi ile başka bir boyut kazanmıştır. Öncelikle matematik değişik ke­miyetlerin benzerliğinden ziyade farklılıklarını temsil etmekte kullanılmıştır. Mesela bir koyu­nun birkaç veya birçok koyundan farklı oldu­ğunu kavramada matematik yardımcı olur. Kı­sacası sayısal kıyaslamalarda matematik kendi­sini gösterir. Daha sonraları insanların birçok olayı hafızalarında tutmaları veya canlandırma­ları sonucunda oldukça kaotik yani belirsiz du­rumlar ortaya çıkınca bunların hangilerinin bir­birine benzer olduklarını tesbit etmek için yine matematik yani sayısal kıyaslamalara gerek duymuşlardır. 

Bilimsel çalışmaların yapılmasında vaz­geçilemeyen matematiğin öncelikler sırasında birinci konumda olması gerekmektedir. Birçok kişi fazlaca matematik bilmenin daha fazla bi­limsel çalışmaların yapılacağını sanmaktadır. Halbuki ondan önce insanın inceleyeceği ola­yın oluşumu ve işleyişi hakkında bazı düşün­ce, mantık, felsefik ve metafizik görüşlere sa­hip olması gerekmektedir. Matematik yöntem­ler daha sonraki aşamalarda işin içine girerek düşüncelerin simgelleştirilmesine yol açar. Böylece bir matematik dili doğar. İşte bu dile tercümelerin yapılabilmesi için öncelikle sözel olarak olayın iyi kavranmış olması gereklidir. Bu sözel anlayışın çalışan kişinin kendi dilinde olması gereklidir. Burada basit bir misal ver­mek gerekirse birçok kişiye Newton'un ikinci kanunu nedir diye sora soralduğunda hemen matematiksel bir cevap alınır ve bu F = ma ya­ni "ef eşittir em a" denir. Burada F = ma'ya ma­tematiksel ifade diğerine ise sözel denilebilir. Halbuki, "ef eşittir em a" ifadesi asla anlaşılır anlamda sözel değildir ve hatta Türkçe hiç de­ğildir. Bunun Türkçe sözel ifadesi "kuvvet iv­me ile doğru orantılıdır ve aralarındaki bağıntı doğrasaldır" cümlesidir. İşte Türkçe olan bu Newton kanunu cümlesi istenilen herhangi bir dile, ingilizce, Arapça, Çince, vs. tercüme edi­lebilir. Ancak F - ma, belki simgesel olarak bü­tün dünyada kabul gördüğünden değişik dille­re sahip kişilerin bilirini anlamamaları duru­munda bu matematik ifadeye bakarak her biri kendi dilinde onu sozelleştirebilir. Buradan matematiğin insan düşünce ve bilimsel bulgu­larının simgesel bir dili olduğu ortaya çıkar. Bi­lim adamı vasfına sahip bir kişinin kendi konu­larındaki matematik denklemleri sözel hale ge­tirerek başkaları tarafından onun anlaşılmasına yardımcı olması gerektiği gibi zihninde düşün­ce sonrasında ulaştığı bazı sözel çıkarımları da matematik denklemler haline sokabilmelidir. Buradan matematik bilgisinin bilimsel araştır­malarda bir araç olduğu ortaya çıkar. Yalnız burada sadece matematik ile ilgilenen kişiler için matematik doğrudan doğnıya onların ilgi alanlarına girdiğinden vasıta değil de esas he­def ve geliştirilecek konudur. Mesela zemin mekaniğinin ilk kumcusu olan Kari Terzaghi matematik bilgisi yetmediği için kendisi bir matematikçiye başvurmak konusunda sözel olarak geliştirdiği bilimsel kavram ve düşünce­lerin matematik denklemlerini onun yardımı ile çıkarabilmiştir. 

Yazarın araştırma yapmak isteyenlere tavsiyesi, önce ilgilendikleri konunun sözel, mantıksal,  felsefik ve düşünce süzgecinden akıllıca geçirilerek çıkarımlarını yapmaların­dan sonra matematiğe başvurmalarıdır. Çünkü esas konusu matematik olmayan birçok kişi, önce yüksek matematik öğreneyim daha son-ro soranlarımı çözerim kanısına kapılarak yan­lış olmayan fakat yararı fazlaca bulunmayan bir yöne girmiş olur ve sonunda da bir buluş bile yapamayabilir. Aslında birçok karmaşık sanılan çözümler analiz edildiğinde mantıksal ve akılca düşünüldüğünde bunların dört işlem denilen toplama, çıkarma, çarpma ve bölme iş­lemlerinin ahenkli bir düzeninden başka bir-şey olmadığı anlaşılır. Mesela, türev bir farkın      başka bir farka bölünmesi, integral ardışık top- lama, diferansiyel denklem bunların çarpım ve  toplamından başka birşey değildir. Burada ge- nel olarak çarpma işleminin bölmenin, toplamanın ise çıkarmanın tersi olduğunu unutma­mak gereklidir. Tüm matematik yöntemlerin gelişmelerinde bu temel işlemlerin iyi anlaşıl­mış olması rol oynar. 

Bilimsel araştırmalar yapılırken insanın belki de farkında olmadan kullandığı en yay­gın matematik konularından bir tanesi ge­ometridir. Bu yazara göre bilimsel araştırmala­rın yapılmasında araştırıcı incelediği olayın ge­ometrisini zihninde canlandırabilirse sorunun büyük bir kısmını çözmüş demektir. Çünkü es­kilerin dediği gibi "tasavvur, tahayyül ve tefek­kür" düşünce sisteminin işlerliğini teşkil eden üç önemli unsurdur. Bu üç unsura kapsama­yan bir düşüncenin yine yazara göre bilimsel olgulara ulaşması mümkün olmaz. Bunlardan konumuzla ilgili olan tasavvur, zihinde incele­nen olayın suretinin şekil olarak canlandırıl­ması demektir. Mesela, Einstein uzay-zaman kavramına ulaşmada Öküd geometrisinin ken­disine bir engel teşkil ettiğini idrak etmiş ve zihninde canlandırdığı bu kavramı temsil ede­bilecek biçimde geometri bilgisi aramıştır. Kendisine Riemann geometrisi yardımcı ol-muşftır. Bu misalden de anlaşılacağı üzere bi­limsel ilerleyişte mutlaka matematiğe daha sonraki aşamalarda ihtiyaç olacağıdır. Müslü­man düşünce adamlarında Ibni Haldun'un de­diği gibi "insan düşüncesi bir kere incelediği olayın geometrisini aklında canlandırabilirse o aklın o olay hakkında yanılması oldukça im-kansız"dır. Matematik kavramlar hep bilimin gerektirdiği ihtiyaçlara cevap vermek için ge­liştirilmiştir. 

Değişik geometri türleri bilimsel araştır­malarda kullanılmış ancak doğanın geometrisi­ni temsil edebilecek yaklaşımlar 1967 yılların­da Benoit Mandelbrot isimli bir bilgisayar programlamasında üstad olan matematikçi ta­rafından geliştirilmiştir. Fractal geometrisi adı verilen bu geometri doğada gelişigüzel şekilli, taş, bulut, yaprak, ağaç, yüzey şekilleri gibi du­rumları modelleyerek televizyon ve bilgisayar ekranlarına kadar taşıyabilmiştir. Bu geometri­nin diğerlerinden farkı tam sayılı boyutu olan uzaylarda değil de kesirli boyuta sahip uzaylardaki cisimlerin görüntülerim modellemektir. Aslında bu geometrinin kurucusu olan Man­delbrot yıllarca belirsizlik yöntemlerinden özellikle istatistiğin çok ileri aşaması olan sto-kastik süreçlerle uğraşmıştır. Doğadaki sadece geometrik şekiller değil bundan başka her tür­lü sinyallerin de rastgele karakter içerdiği dü­şünülecek olursa, bunların modellenmesine yarayan stokastik süreçlerin bir ileri safhası olarak fraktal geometrisi ortaya çıkmıştır. Sade­ce belirginlikleri var sayarak doğanın doğasına aykırı şekillerin modellenmesine yarayan be­lirgin geometri yerine belirsizlikleri modelle-yen geometriler ortaya çıkmıştır. 

Aynı yıllarda atmosfer bilimlerinin mo-dellenmesi ile bilgisayarlarda programlar ya­zan Lorenz isimli bir araştırıcı tamamen belir­gin olan diferansiyel denklemlerden hareketle başlangıç ve sınır şartlarının belli olması du­rumlarında sayısal çözümlemeler elde etmeye çalışırken hiç beklemediği bir durumla karşı­laşmıştır. Diferansiyel denklemler aynı kalma­sına karşılık başlangıç değerlerinde pratik ba­kımından ihmal edilebilecek kadar küçük ha­talar bulunması halinde modelin verdiği çö­zümlerin birbirine ihmal edilebilecek mertebe­de hatalar içinde yakın olması beklenirken, çö­züm sırasında biraz sonra bu farklı başlangıç değerlerinin verdiği sonuçların birbirinden ta­mamen farklı olduğunu gözlemiştir. Bunu bir­birine çok yakın değerleri olan başlangıç şart­ları ile defalarca bilgisayarda tekrarlanması ve sonunda elde ettiği çözümlerin birbiri ile ilişki­si olmayacak biçimde farklı olduğunu fark et­miştir. İşte bu olaya matematikte dinamik sis­temlerin kaotik çözümleri adı verilmiştir. Bur-dan çıkarılan sonuç diferansiyel denklemleri­nin sayısal çözümlemelerinde varılan sonuçla­rın kaotik yani düzensizlik içinde düzenlilik olacak şekilde bulunabilmesidir. Klasik ve ta­mamen belirgin yöntemlerle davranış denk­lemleri bulunan doğal olayların gelecekteki davranışları bu denklemlerin sayısal çözümleri ile asla kesin olarak öngörülemez. Böylelikle matematiğin tamamen belirgin sayılan diferan­siyel hesaplama ve sayısal çözümlemelerinin de istatistik yani belirsizlik kurallarına ihtiyaç duyduğu anlaşılmıştır. Bunun atmosfer bilim­leri bakımından yorumu ise kelebek etkisi ola­rak ün kazanmıştır. Buna göre madem ki baş­langıç şartlarının on binlerde bir miktarda bile farklılık göstermesi halinde elde edilen çözüm­ler aynı olmamakta ve kaotik davranış göster­mektedir, o halde uçan bir kelebeğin kanadını oynatması bile başlangıç değerlerinde bir fark­lılığa neden olacağından atmosfer olaylarının ve bu arada meteorolojik hava öngörülerinin kesinlikle gelecekte bile öngörülerinin yapıla­mayacağıdır. İşte böyle bir sonuç özellikle ondokuzuncu yüzyılda ortalığı kasıp kavuran bilimde olgusal (pozitif) düşünce doğmasının pabucunu tamamen dama atmıştır. Bazı araş­tırmacılara göre önümüzdeki yüzyılın en önemli bilimsel araştırma konularından biri di­namik sistemlerin kaotik davranışlarıdır. Bir­çok araştırıcı Einstein'in görecelik ve özellikle de kuantum fiziğinden sonra dinamik sistem­lerin kaotik davranışı konusunun güncel ve devrim yapan bir bilimsel konu olduğu görü­şündedir.

Burada kısaca katı bir biçimde belirlik içeren ikili Aristo mantığının bile daha genel olarak belirsizlik üzerine kurulmuş olan bula­nık (fuzzy) mantığının özel bir durumu oldu­ğunu unutmamalıdır. 

Fizik alanında klasik belirgin matematik kurallar gezegenlerin yörüngeleri üzerinde dö­nüşlerinin belirli eliptik yörüngeler şeklinde olduğundan, ve atom altı dünyasında elektron­ların tıpkı güneş sistemindeki gibi çekirdek et­rafında düzgün yörüngeler üzerinde döndük­lerine varıncaya kadar kullanılmıştır. Ancak 1927 yılında Heisenberg isimli araştırıcının devrim yapan belirsizlik ilkesinin kabul gör­mesi ile o çok belirgin samlan fizik bilimi bile artık kuantum fiziğinin şemsiyesi altında sade­ce istatistik ve ihtimaller hesaplamaları ile yön­temlerinden yararlanan belirsizlik kurallarının altına girmiştir. 

Hemen her mühendislik dalında kont­rolden, endüstriye, malzemeye ve işletmelere vanncaya kadar istatistiksel ve belirsizlik karşı­sında karar verebilmeleri için ihtimal hesapları kullanılmaya başlanmıştır. Bu bakıma belirsiz­lik hesaplamaları klasik hesaplamalardan daha fazlaca kullanılır hale gelmektedir. Eskiden birçok klasik kitapta belirsizlik yöntemlerin­den istatistik ile dalga geçer gibi üç türlü yalan vardır. Bunlardan birincisine adi yalan, ikinci­sine kuyruklu yalan, üçüncüsüne ise istatistik­sel yalan denilmekte idi. Bana göre bunu söy­leyenlerin kendileri belirsizlik yöntemlerine güvenmediklerinden hala pozitivistik düşünce ve belirgin (deterministik) yöntemlere körü körüne bağlı olduklarından ve istatistik bilimi­ne yeteri kadar sahip olmadıklarından eksik­liklerini örtmek için kullanmaktadırlar. Yukarı­da geometri, mantık, fizik, bilgisayarlarda diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlen­meleri gibi belirgin sanılan konuların belirsiz­lik yöntemlerine teslim olmaları karşısında bunların hala direniyor olmaları güncel bilim­sel ilerlemeleri ne kadar takip etmedikleri veya geride kalmış düşüncelerden kendilerini bir türlü soyutlayamadıkları anlamı çıkmaktadır. En azından şunu bilmelerinde yarar vardır ki belirli matematik yaklaşım ve çözümler belir­sizlik ilkeleri ile en genel anlamda çözülebilir ve bu çözümlerin aritmetik veya ağırlıklı or­talamaları belirgin yaklaşımların verdikleri sonucu verirler. 

Belirsiz matematik yöntemlerden istatis­tik, ihtimal, stokastik ve kaotik gibi yaklaşımlar önümüzdeki yıllarda bilimin bütün dallarında daha yaygınlaşarak kullanılır duruma gelecek­tir. Bunun özet olarak nedenlerini şöylece sıralayabilire. 

a) Belirgin (klasik, deterministik) mate­matik yöntemler ancak bir kalıp şeklinde bazı kabullerin yapılması sonucunda olayların in­celenmesinde kullanılabilir. Bu kabuller bir basitleştirme ile idealleştirme yapmayı gerek­tirir ki bunun için özel olarak incelenerek olayı yakından bilmek gerekir veya insan aklına ilk uyan en basit durumlar göz önüne alınır Mesela matematikte, lineerlik yani doğrusal ol­ma çokça kullanılan bir kabuldür çünkü bu sayede süperpozisyon yani toplama ve oran-tılılık kuralları yani çarpma ve bölme kul­lanılabilir. 

b) Elde verilerin bulunduğu yerbilimleri, tıbbiye, biyoloji, laboratuvar deneyleri, atmos­fer bilimleri, sosyal bilimler, insan bilimleri, gibi konularda verilerin işlenerek sonuca varıl-ması belirsizlik yöntemlerinden istatistiğin çok yaygın bir biçimde kullanılmasını ve buralar­dan gerekli bilimsel çıkarımların yapılması mümkündür. Klasik matematik yöntemlerin kullanılması sonucunda elde edilmiş olan model denklemlerin geçerliliğinin irdelen-mesinde veriler gerekli olur. 

c)  Belirsizlik yöntemlerinin kullanılması ile bilinmeyen olayların bazı özelliklerinin öl­çülmesi sonucunda bu ölçümlerin zaman veya konum eksenleri boyunca gidişlerinin incelen­mesi ile bazı temel fiziksel parametreler ortaya çıkarılabilir. 

d) Gelecekteki olaylann öngörülmelerin­de gözönünde tutulacak risklerin ve hata pay­larının ileriye somut olarak sürülmesi ancak belirsizlik yöntemleri ile olur. Çünkü belirgin klasik yöntemler sadece bir nokta tahmini verirler halbuki belirsizlik yaklaşımları ile bu noktayı da içinde bulunduran aralık tahminleri yapılır. 

e)  Belirsizlik yöntemlerine alışkın araş­tırıcılar bazı önermelere veya matematik işlem­lere göre klasik yaklaşımların verdiği sonuçlan genelleştirerek elde edilebilirler.

0 Belirsizlik yöntemlerinde olayın or­taya çıkmasında gözlemlenebilecek sapmalar ve anormal haller hesaplanarak gerekli risk seviyeleri bulunabilir. Klasik yöntemlerle bunu yapmak mümkün değildir.